Чему равна сумма прогрессии

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия - последовательность чисел, где каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянную величину (разность прогрессии).

Формула суммы арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Sₙ = (a₁ + aₙ) × n / 2

Пример расчета

Для прогрессии 2, 5, 8, 11, 14 (n=5, d=3):

1. a₁ = 2
2. a₅ = 14
3. S₅ = (2 + 14) × 5 / 2 = 40

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия - последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число (знаменатель прогрессии).

Формула суммы геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии:

Sₙ = a₁ × (1 - qⁿ) / (1 - q) (при q ≠ 1)

Пример расчета

Для прогрессии 3, 6, 12, 24 (n=4, q=2):

• a₁ = 3
• q = 2
• S₄ = 3 × (1 - 2⁴) / (1 - 2) = 45

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

При |q| < 1 сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S = a₁ / (1 - q)

Пример

Для прогрессии 1, 1/2, 1/4, 1/8... (q=1/2):

1. a₁ = 1
2. q = 0.5
3. S = 1 / (1 - 0.5) = 2

Применение формул суммирования

Заключение

Формулы сумм прогрессий являются важным математическим инструментом, находящим применение в различных областях знаний. Правильное применение этих формул позволяет эффективно решать широкий круг задач, связанных с последовательностями и рядами.